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''les sciences mathématiques et calculantes'' question #3328



Kelvin C (Genre: mâle, Àge: 100 années) de GTA sur 14 mars, 2006 demande:

Q:

Pourquoi est il qui en calculant le volume d'une pyramide, telle qu'un cône, toi toujours doivent se diviser par 3. Ceci signifie qu'un cône est 1/3 d'un cylindre, mais pourquoi 3, pourquoi ne peut pas c'être un certain nombre aléatoire. La sphère se comporte la même manière, mais dans ce cas-ci, qu'il serait sans diviser les 3 pour le volume d'une sphère ?

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la réponse

Aaron Abrams répondu le 19 mars, 2006, R:

C'est seulement semi-finale-répondent à la question de maths dans le sens à qu'il prie une autre question, mais semi-finale-répondre est que les 3 que vous vous divisez près est la dimension.

Regardons le cône d'abord. L'one-way à penser à son volume est de penser à faire le cône près commençant par une région dans l'avion (un disque) et un point pas sur l'avion (le point de cône), et à joindre tous points de la région plate au point de cône. Si vous savez à faire les intégrales, vous devriez pouvoir prouver qu'il réellement n'importe pas quelle forme la région plate est ou exactement où le point de cône est - tous que les sujets est le secteur A de la région plate et de la « taille » h du point de cône, signifiant sa distance perpendiculaire à l'avion. Le volume de cône-comme la chose que vous obtenez sera Ah/3. Si vous faites la même dimension de la chose une plus bas, vous obtenez Ah/2 : ici A représente une longueur, c.-à-d. un secteur à une dimension, et c'est la formule pour le secteur d'une triangle, moitié des temps de référence la taille. (Et noter qu'une triangle est un cône à deux dimensions.) si vous faites la même dimension de la chose une plus haut vous obtenez Ah/4 (où A représente un volume à trois dimensions, et Ah/4 est les 4 volumes dimensionnels du cône 4 dimensionnel que vous avez construit). Et ainsi de suite. Si vous réellement faites l'exercice et dérivez la formule, vous verrez comment le dénominateur surgit comme dimension.

C'est une réponse analytique parfaitement bonne à la question, mais la question qu'elle prie, dans mon esprit au moins, est : quelle est une explication géométrique pour ce phénomène ? Dans deux dimensions, vous pouvez facilement voir pourquoi le secteur d'une triangle est ce qui est il : au moins pour les triangles aiguës, il y a un rectangle évident du secteur de secteur (base) (taille) lequel est clairement deux fois le secteur de la triangle. (Il n'est pas beaucoup plus dur pour les triangles non-aiguës.) mais dans trois dimensions, il n'est pas géométriquement évident (au moins à moi) pourquoi le volume du cône devrait être exactement un tiers du volume du cylindre correspondant.

Avec une boule, la situation est semblable mais peu une plus rusée. Vous pouvez penser à faire une boule près commençant par sa sphère de frontière (juste la surface) et à la pensée au point central comme « point de cône, » et à former la boule en joignant chaque point de la sphère de frontière au centre. En calculant le volume, vous intégrez la superficie, et une chose semblable se produit avec la dimension. Encore, vous devriez essayer ceci (dans une variété de dimensions, commençant par les plus petites qui se comprennent) pour voir d'où le nombre vient.

Une chose qui rend la boule plus rusée que le cône est que la construction est liée par une contrainte géométrique : pour le cône vous pourriez employer n'importe quelle forme initiale mais pour la boule vous voulez probablement coller avec une sphère. Si vous êtes ambitieux vous pourriez essayer une forme convexe générale. Une autre chose qui rend la boule différente du cône est celle habituellement avec une boule que vous ne calculez pas le volume de cette façon, parce que vous devriez déjà savoir la superficie. Habituellement vous la calculez une manière différente (par l'intermédiaire d'une autre pas en particulier intégrale difficile) et employez alors la réponse pour obtenir la formule pour la superficie. Ainsi cette approche est genre de vers l'arrière de ce point de vue.

Quoi qu'il en soit dans les deux cas la question, si vous êtes dans la dimension n, reste-t-il est-il une apparence géométrique d'argument qu'un certain volume normal est exactement des temps de n le volume que vous avez construit ? Ce serait une manière élégante d'expliquer le n dans ces dénominateurs.

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