## Les sciences mathématiques et calculantes Question #47

Stephen Venneman (Genre: mâle, Àge: 28 années) de l'Internet sur 10 août 1999 demande:

Pourriez-vous expliquer ce qu'est la quatrième dimension, exactement ? Lors de regarder un exemple mis vers le haut par professeur Koch de l'université de l'Orégon, je suis confondu. Il a ressemblé à deux objets 3D embrouillés ensemble.

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## La réponse

### Barry Shell répondu le 10 août 1999

You have to remember that Professor Koch's diagram shows a projection of four dimensions onto three dimensions and that's why it might have looked like two 3D objects tangled together. This is analogous to seeing a picture of something on a flat (2D) page or TV screen. These images are really projections of 3D objects onto a 2D object.

The best way I have ever understood the higher dimensions, and let's just stick with the fourth dimension, although you can go right out to an infinite number of dimensions using the same technique, is to use the process of dimensional analogy first explained to me by the famous geometer H.M.S. Coxeter in Toronto. You can see this explained graphically at www.science.ca/scientists/Coxeter/coxeter.html. The key thing to remember is that just because space is in 3 dimensions, it does not mean we have to stop there. Adding time to the 3 dimensions of space is typical, and so time is often thought of as the 4th dimension, but one can add an infinite number of dimensions. For instance, we could keep track of the where you are in 3D space, the time (the fourth dimension) you do things, and we could track your body temperature in the 5th dimension, how much money you had in the 6th dimension, your emotional state in the 7th dimension and on and on. Another good use of the higher dimensions is in telecommunications networks. Many many mathematics and physics applications require more than 3 or 4 dimensions to express relationships, and concepts.

### Danny Yoo répondu le 12 mars 2003

Voici comment l'analogie dimensionnelle fonctionne. Penser à chaque dimension successive pour être un espace contenant les espaces multiples de la dimension antérieurement. 1 dimension se compose d'une ligne droite (l'axe des abscisses). 2 dimensions comprend la ligne droite dans 1-D avec une autre ligne 90 degrés à elle (l'axe des ordonnées). L'addition de l'axe des ordonnées permet à des valeurs multiples de x d'exister ; essentiellement vous pouvez avoir les traits horizontaux multiples aussi bien que les lignes qui existent dans les deux dimensions. 3 dimensions comprend l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées avec encore une autre ligne 90 degrés aux deux (z-axe). L'addition du z-axe permet aux avions de x/y multiples (les 2-D espaces) d'exister comme les surfaces qui existent dans chacune des trois dimensions. 4 dimensions se compose d'une 4ème perpendiculaire d'axe à chacun de l'axii de x, de y, et de z. Il est difficile de visualiser ce, mais si nous allons avec notre ligne précédente de la pensée, l'addition du 4ème axe permettrait aux espaces multiples de x-y-z (à trois dimensions) d'exister comme les espaces qui existent dans chacune des quatre dimensions. Une bande de Moebius est une démonstration intelligente de 2-D exister dans à trois dimensions. Pour faire une bande de Moebius, prendre une bande mince de papier, renverser une extrémité à l'envers, et attacher du ruban adhésif aux deux extrémités ensemble. Pour démontrer l'effet, prendre un stylo et baisser le centre de la bande, suivant la bande dans toutes direction et aspiration jusqu'à ce que vous reveniez où vous avez commencé. Notification comment vous avez traversé les deux côtés du morceau de papier sans laisser jamais le plan du papier. La bouteille de Klein est une forme 4-D qui montre le même paradoxe analogue dans à trois dimensions. Une recherche là-dessus peut renvoyer plusieurs résultats intéressants.

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