Henri Darmon

Mathématiques pures et appliquées

L’un des leaders mondiaux du domaine de la théorie des nombres; il travaille sur le « 12ème problème de Hilbert », une célèbre question mathématique.

"Il existe une théorie qui expliquerait mes observations empiriques, et cette théorie reste encore à être découverte. Les mathématiques prospèrent de tels mystères."

Henri Darmon et son amie Galia étaient en route vers Princeton dans le New Jersey, lors d’un chaud après-midi de juin, après des vacances à Cape Cod. Tous deux âgés d’une vingtaine d’années, ils se connaissaient depuis deux ans. Ils s'étaient rencontrés en 1991 quand Darmon est arrivé à l’Université de Princeton pour travailler comme professeur et chercheur en mathématiques; Galia était aussi étudiante en mathématiques, elle finissait son doctorat (PhD).

Comme le font souvent les mathématiciens, Henri et Galia passent le temps en réfléchissant à certains des problèmes que personne n'arrive à résoudre. « Et alors, que penses-tu du dernier théorème de Fermat ? » demande Galia. « Penses-tu que quelqu’un arrivera à le prouver un jour ? » Elle faisait référence à un simple problème que Darmon connaissait bien. Ses propres recherches sur les courbes elliptiques pourraient un jour être impliquées dans une expérience mathématique. Depuis des siècles, des milliers de gens avaient essayé de résoudre le dernier théorème du mathématicien français Pierre de Fermat, qu'il avait griffonné dans la marge d'un livre en 1637, mais personne n'avait réussi.

Un théorème mathématique est une vérité dérivée de principes fondamentaux. Le dernier théorème de Fermat est lié à un résultat classique appelé le théorème de Pythagore, qui dit : dans un triangle rectangle, la somme des carrés des deux côtés courts est égale au carré du long côté. La figure ci-contre démontre cette idée qui a en fait été découverte par les Babyloniens (la civilisation ancienne du pays qui s’appelle aujourd’hui l’Irak) environ 2000 avant J-C. Cette théorie était utilisée pour découvrir la valeur relative des champs d'une ferme, afin de calculer les impôts à payer. Cependant l'origine en est attribuée au célèbre mathématicien Pythagore, qui l'a étudié en détail.

The pythagorean theorem. Click to enlarge.

Le théorème est habituellement exposé de manière algébrique : a2 + b2 = c2, où c représente l’hypoténuse (long côté) et a et b sont les côtés courts du triangle. Beaucoup de nombres satisfont à cette règle, à commencer par 3, 4 et 5 (remplacez le b par 3, le a par 4 et le c par 5; vous obtiendrez 32 = 9, 42 = 16 et 52 = 25, et comme 9 + 16 = 25, tout correspond). D’autres séries de nombres pythagoriciens sont 5, 12 et 13 ou 7, 24 et 25 ; leur nombre est en fait infini. La branche des mathématiques traitant de ce type de problème est appelée "théorie des nombres" et c'est la spécialité d'Henri Darmon.

Fermat se demandait si la règle de Pythagore marcherait pour a3 + b3 = c3 ou a4 + b4 = c4 et il découvrit que ça n’était pas le cas. Mais ensuite il écrivit : « Il n'est pas possible de décomposer un cube en somme de deux cubes, une puissance quatrième en somme de deux puissances quatrièmes et généralement aucune puissance d'exposant supérieur à 2 en deux puissances de même exposant. J'en ai découvert une démonstration merveilleuse. L'étroitesse de la marge ne la contient pas. » Autrement dit, Fermat disait que l'équation an + bn = cn ne marcherait jamais si n était égal à quoi que soit d’autre que 2, et il pouvait le prouver. Durant sa vie, Fermat écrivit de nombreux théorèmes similaires, mais malheureusement il mourut avant de pouvoir prouver celui-ci sur le papier. En juin 1993, 328 ans après sa mort, c’était le seul théorème de Fermat qui n’avait pas encore été démontré, et c’est pourquoi on l’appelle le « dernier théorème de Fermat ». Au cours du temps des sommes d'argent importantes, parfois équivalentes à plus de deux millions de dollars, avaient été offertes comme prix à la personne qui pourrait prouver la validité du dernier théorème de Fermat, et c’est pourquoi quand Henri et Galia parlaient de celui-ci, ils étaient sérieux. La personne qui trouverait la « réponse » deviendrait riche et célèbre, littéralement. La preuve « merveilleuse » de Fermat était probablement très difficile à découvrir car aucune des bonnes vieilles méthodes ne semblait marcher. Darmon savait que la solution impliquait probablement l'utilisation de quelque chose sur lequel il était en train de travailler, les courbes elliptiques, et c'est ce qu'il répondit à Galia : « J’ai l’intuition que cette histoire de Fermat sera bientôt résolu » déclara t-il « Peut-être même dans les dix ans qui viennent. »

En 1955, deux mathématiciens japonais, Yutaka Taniyama et Goro Shimura, prétendirent que les courbes elliptiques étaient liées à un autre type d’objet mathématique appelé formes modulaires, d’une façon profonde et surprenante. Personne n’avait jamais pensé que cette connexion entre les formes modulaires — des fonctions impliquant des nombres imaginaires et résultant en d’incroyables figures symétriques — pourraient avoir quelque chose à voir avec les courbes elliptiques, qui sont des formules standard comme y2 = ax3 + bx2 + cx + d.

Graph of modular form and elliptical curve.

Left: representation of a modular form. Right: representation of an elliptic curve (in blue). Elliptic curves are not ellipses, though they were originally used hundreds of years ago to help calculate the perimeter of an ellipse. The rational points on an elliptic curve (that is, points that are whole numbers, or ratios of whole numbers) have interesting properties. Any two points can be used to find a third. Number theorists love elliptic curves because they answer many questions about equations and their solutions.

Taniyama et Shimura ne purent pas prouver affirmations et les mathématiciens appellent ce genre de théorie une conjecture, jusqu’à ce qu’une preuve soit trouvée. L’intérêt pour la conjecture de Shimura-Taniyama a récemment augmenté, parce qu’au milieu des années 80 deux autres mathématiciens (Frey et Ribet) démontrèrent que si la conjecture était jamais prouvée, elle entraînerait automatiquement une solution au dernier théorème de Fermat. Mais comme le problème semblait si difficile à résoudre, personne ne savait exactement où commencer.

« Tu sais Galia, je ne pense pas que quelqu'un arrivera à comprendre Shimura-Taniyama de mon vivant » dit Henri, tout en garant sa voiture sur la place de parking près de leur appartement de Princeton. Il pensait que la conjecture était beaucoup plus difficile à résoudre que le dernier théorème de Fermat. « Je parie que Fermat sera résolu en premier, » déclara-t’il.

Le matin suivant, un lundi, Darmon était dans son bureau à l'université. Celui-ci occupait une vaste pièce dans une tour, et la fenêtre ouvrait sur la ville rurale de Princeton. Juste au moment où Darmon allait se mettre au travail, Peter Sarnak entra à toutes jambes dans la pièce. Sarnak était un professeur de mathématiques à Princeton, un homme charismatique et sûr de lui. Sarnak s’exclama : « Tu sais que Wiles a trouvé ! Il va démontrer Fermat. »

« Quoi ? » répondit Darmon, interdit. Il connaissait Andrew Wiles, un autre professeur de mathématiques de Princeton et l’un des meilleurs amis de Peter. Wiles était en train d’assister à une conférence de mathématiques à l’Institut Newton à Cambridge, en Angleterre. Darmon était stupéfait. Était-ce possible ? « Comment va t'il faire ? » demanda t’il.

Sarnak répondit : « Il va démontrer Shimura-Taniyama. »

Maintenant, Darmon était complètement dépassé. Non seulement le dernier théorème de Fermat allait être résolu, mais la conjecture de Shimura-Taniyama aussi. « Est-ce que tu as le manuscrit ? » demanda t’il à Sarnak, car il avait vraiment besoin de voir une preuve pour le croire. « Non, j’ai juré de garder le secret. Je ne devrais même pas t'en parler, Henri. » Sarnak avait un charmant accent d’Afrique du Sud quand il parlait, et ajouta : « Andrew va donner trois conférences pour élaborer sa théorie, et il ne montrera pas la preuve de Fermat avant sa dernière conférence mercredi, alors sois gentil n’en parle à personne. Quand tu verras Andrew demandes-lui toi-même une copie. »

La preuve de Wiles s’avéra compter deux cent pages environ et était si compliquée que seuls quelques mathématiciens sur la Terre étaient capables de l’apprécier pleinement. « Au bout du compte, le plus étonnant n’est pas qu’il l’ait démontré » dit Darmon, « mais plutôt comment il l’a démontré. » En faisant se rejoindre deux zones des mathématiques à priori complètement indépendantes l’une de l’autre (les formes modulaires et les courbes elliptiques), Wiles avait réussi quelque chose de bien plus important que de prouver un simple théorème. Il avait réalisé une sorte de grande unification de la pensée mathématique. C’était une victoire symbolique.

« Wiles a changé mon idée du « faisable » et m’a psychologiquement poussé à aller dans des directions où je n’étais pas sûr de trouver une réponse» dit Darmon. De la même façon, Wiles a inspiré des milliers d’autres mathématiciens à découvrir de nombreuses autres relations mathématiques ces dernières années.

Les courbes elliptiques ne sont pas des ellipses, mais elles étaient à l’origine utilisées il y a plusieurs centaines d'années pour aider à calculer le périmètre d’une ellipse. Les points rationnels sur une courbe elliptique (c'est-à-dire, les points qui sont des nombres entiers, ou ratios de nombres entiers) ont des propriétés intéressantes. Deux points (n’importe lesquels) peuvent être utilisés pour trouver un troisième point. Les théoriciens des nombres adorent les courbes elliptiques parce qu’elles permettent de répondre à de nombreuses questions concernant les équations et leurs solutions.

Le jeune scientifique ...

Henri Darmon est né à Paris, mais sa famille a déménagé au  Québec au Canada lorsqu'il avait trois ans. Son père travaillait à l’Université de Laval, où il enseignait l’administration commerciale. La famille d'Henri s’est ensuite installée à Montréal (Henri avait alors 11 ans), où son père a commencé à enseigner à l'Université McGill. Henri aimait beaucoup voyager quand il était adolescent, et lorsqu'il était sur la route il aimait travailler sur des problèmes mathématiques difficiles. Il lui arrivait parfois de passer tout un été à réfléchir à un seul problème, tout en voyageant. Il le fait toujours : « Il m’arrive d’avoir de très bonnes idées en voyageant en autobus ou en train. »

L’année de ses 17 ans, Darmon a fait un voyage au Maroc. Il venait de découvrir le calcul, les mathématiques qui permettent de décrire le changement continuel, et cet été il s'était posé un défi personnel: trouver l’anti-dérivée de sinx/x tout en voyageant. Cette association de calcul et de géométrie pouvait paraître simple, mais il passa tout l’été à réfléchir et ne trouva jamais la solution. La raison : il n’y a pas de solution simple.

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