Henri Darmon

Mathématiques pures et appliquées

L’un des leaders mondiaux du domaine de la théorie des nombres; il travaille sur le « 12ème problème de Hilbert », une célèbre question mathématique.

"Il existe une théorie qui expliquerait mes observations empiriques, et cette théorie reste encore à être découverte. Les mathématiques prospèrent de tels mystères."

Henri Darmon est un mathématicien spécialisé dans la théorie des nombres. De nombreux scientifiques estiment que les mathématiques sont la plus pure des sciences et la plupart des mathématiciens sont d’accord pour dire que la théorie des nombres est la forme la plus pure des mathématiques. Contrairement aux autres sciences, il n'est pas nécessaire de faire des expériences en laboratoire ou des observations du monde naturel pour faire des mathématiques. C’est une science qui repose sur sa propre cohérence et sur une logique interne, et pour laquelle on a besoin du seul esprit humain. Comme l’a observé un mathématicien, c’est le seul travail pour lequel il est possible de s’allonger sur un canapé, de fermer les yeux et de se mettre au travail.

Que font les théoriciens des nombres, lorsqu’ils ferment les yeux? Ils imaginent comment les nombres sont liés les uns aux autres, ils voient des modèles, inventent des formules et des équations qui permettent de capturer ces modèles et de les reproduire. Vous êtes-vous déjà posé des questions sur les curieuses propriétés de la table de neuf (9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81)? Remarquez que les chiffres qui composent les nombres s’additionnent toujours entre eux pour former 9 (1 + 8 = 9, 2 + 7 = 9, etcetera). Remarquez la symétrie des séries : après 45, les nombres deviennent des images miroir de ceux qui les précèdent (45/54, 36/63, etc.). C’est un exemple très simple des sujets de réflexion des théoriciens des nombres, mais ces derniers vont en fait beaucoup plus loin que cela. Ils veulent savoir pourquoi la table de neuf se comporte de cette façon (ce qui est lié à la façon dont nous comptons, avec 10 chiffres y compris le zéro.) Ils essayent de deviner ce que signifient ces modèles et ces relations.

Bien qu’ils ne cherchent que rarement des applications pratiques, les théoriciens des nombres ont fournis de nombreux outils utiles aux autres sciences. Par exemple, en sélectionnant un système pour compter qui utilise deux chiffres (0 et 1) au lieu de 10, les mathématiciens ont développé une manière permettant aux machines de faire des mathématiques. Cela s’appelle l'arithmétique binaire, qui est à la base de tous les langages ordinateur. Mais d’habitude, les théoriciens des nombres ne sont pas à la recherche d'utilisations pratiques pour les nombres. Ils sont simplement fascinés par les stupéfiantes relations naturelles qui peuvent être découvertes dans le monde des nombres.

Comme des explorateurs aventureux à la recherche de nouvelles terres, les mathématiciens sont toujours à la recherche de modèles de nombres nouveaux et fascinants. Darmon aime à penser au monde des nombres comme à une sorte de jungle naturelle, comme la toundra arctique ou la forêt Amazonienne. Ces endroits sur la terre voient naître de nombreuses relations entre plantes et animaux, le monde des nombres est plein de connexions, de modèles et de structures et même d'animaux de toutes sortes; la seule différence est qu'on ne l'explore pas dans un bateau ou un avion; ce monde se trouve dans votre esprit.

Dans les années 1960, un couple de mathématiciens anglais appelé B. Birch et H. Swinnerton-Dyer ont formulé une conjecture basée sur de nombreux exercices de comptage compliqués qu’ils avaient faits. Leur conjecture, si elle devait jamais être prouvée, donnerait une méthode mathématique systématique (un algorithme) permettant de calculer les solutions à des équations de courbes elliptiques décrivant des groupes abéliens. En mai 2000, afin de célébrer un siècle de résolution de problèmes mathématiques, l'Institut « Clay Mathematics Institute » à Cambridge dans le Massachusetts a offert un prix d’un million de dollars US pour la solution à chacun de sept grands problèmes, y-compris la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer.

L’Institut Clay faisait écho à un évènement qui s’est déroulé en mai 1900 et où l’un des grands mathématiciens de ce temps, l’allemand David Hilbert, donna une célèbre conférence à Paris où il présenta 23 problèmes très difficiles à résoudre pour les mathématiciens du 20ème siècle. Le 12ème de ces problèmes était une question concernant la génération de groupes abéliens. Plus de 100 ans après, la solution au 12ème problème de Hilbert est toujours inconnue, mais Darmon fait des progrès dans sa recherche d’une solution.

En simplifiant, Hilbert demanda : « Comment avoir une méthode correcte et efficace, permettant de construire toutes les extensions abéliennes contenant un corps donné?” Des années plus tard, en commentant ce problème, Hilbert déclara « La théorie de la multiplication complexe (de fonctions elliptiques modulaires) qui forment un lien puissant entre la théorie des nombres et l'analyse, n'est pas seulement la plus belle partie de toutes les mathématiques mais de toute la science."

C’est pourquoi la quête d’Henri Darmon est en effet noble; s'il peut trouver ce qu'il cherche dans la jungle mathématique, sa découverte affectera, d'après Hilbert, l’ensemble de la science. Il pourrait aussi devenir millionnaire. Il y a quelques années, Darmon a prouvé la connexion entre le 12ème problème de Hilbert et la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer. Et tout dépend de la manipulation habile des courbes elliptiques.

D’une manière pratique, les modèles générés par les courbes elliptiques permettent d'encoder et de décoder des informations de manière très efficace. Ces encryptions sont petites et faciles à calculer, et c’est pourquoi elles sont idéales pour des transactions rapides avec des cartes de crédit, atms et les achats en ligne sur Internet.

The number system. Click to enlarge.

Le système de nombres commence avec les nombres naturels : 1, 2, 3, 4 etc. Ensuite, ajoutez le zéro et les nombres négatifs pour obtenir les nombres entiers. Entre chaque nombre entier se trouvent les fractions. Les mathématiciens appellent ces nombres les nombres rationnels. Chaque groupe plus grand inclus les plus petits. Après les fractions viennent les nombres qui ne peuvent pas être simplement exprimé par un nombre divisé par un autre, comme la racine carrée de 2. Ceci inclus les nombres imaginaires, qui sont nécessaires pour expliquer les nombres dont les racines sont négatives. On les appelle collectivement nombres irrationnels ou nombres algébriques. Au-delà se trouvent des nombres plus exotiques comme pi (3.14159 …) ou e (2.17828 …), des nombres avec des relations logiques simples — par exemple pi est le rapport du rayon d’un cercle avec sa circonférence — mais qui ne peuvent pas être exprimés comme le rapport de nombres entiers. Ils vont plus loin que le calcul ordinaire, c’est pourquoi les mathématiciens les appellent nombres transcendants.

Symmetries.

Symétrie : tout comme les biologistes cataloguent les plantes, un mathématicien catégorise les nombres. Un exemple très simple serait formé par tous les nombres pairs, mais un meilleur outil est le corps de nombre, un groupe de nombres qui est préservé sous l'addition, la soustraction, la multiplication et la division, et obéit aux règles impliquant la symétrie comme l’inversion de la multiplication (a x b est la même chose que b x a).

Les théoriciens des nombres mesurent la complexité d’un corps de nombre par la quantité de symétrie qu’il possède. Si vous considérez un carré et un rectangle : vous pouvez tourner un carré par n'importe quel multiple de 90 degrés et le pivoter sur n'importe lequel de ses quatre axes de symétrie, pour un total de huit transformations possibles. Mais un rectangle, en raison de ses côtés inégaux, ne possède que quatre façons différentes d’être tourné ou pivoté. La figure illustre le nombre de symétries sous chaque forme. Darmon travaille avec un type de corps de nombre qui obéit à un type de symétrie spécifique. Quand deux symétries sont appliquées à un groupe abélien, elles peuvent être appliquées dans n’importe quel ordre et le résultat sera le même : comme de pivoter, puis de tourner, le carré ci-dessus. Dans un sens, les groupes abéliens sont la classe la plus simple de systèmes de nombres car ils possèdent cette « symétrie des symétries » Les mathématiciens voudraient trouver des équations qui décriraient tous les groupes abéliens possibles et il s’avère que les courbes elliptiques peuvent les aider.


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MYSTèRE

Les solutions à de nombreux problèmes mathématiques attendent d’être découvertes. Le 12ème problème de Hilbert, la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer et d’autres problèmes du millénaire du Clay Institute restent des énigmes.

Pour continuer l’exploration

Amir Aczel, Fermat’s Last Theorem, Delta, 1997.

Albert Beiler, Recreations in the Theory of Numbers, Dover, 1964.

Pour en apprendre plus au sujet des courbes elliptiques, essayez le site Internet d'Ed Eikenberg à l’université du Maryland.

Afin de découvrir comment gagner un million de dollars en faisant des mathématiques, visitez le site Internet du Clay Institute.

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