Henri Darmon Mathématiques pures et appliquées

L’un des leaders mondiaux du domaine de la théorie des nombres; il travaille sur le « 12ème problème de Hilbert », une célèbre question mathématique.

"Il existe une théorie qui expliquerait mes observations empiriques, et cette théorie reste encore à être découverte. Les mathématiques prospèrent de tels mystères."

L'histoire

Henri Darmon et son amie Galia étaient en route vers Princeton dans le New Jersey, lors d’un chaud après-midi de juin, après des vacances à Cape Cod. Tous deux âgés d’une vingtaine d’années, ils se connaissaient depuis deux ans. Ils s'étaient rencontrés en 1991 quand Darmon est arrivé à l’Université de Princeton pour travailler comme professeur et chercheur en mathématiques; Galia était aussi étudiante en mathématiques, elle finissait son doctorat (PhD).

Comme le font souvent les mathématiciens, Henri et Galia passent le temps en réfléchissant à certains des problèmes que personne n'arrive à résoudre. « Et alors, que penses-tu du dernier théorème de Fermat ? » demande Galia. « Penses-tu que quelqu’un arrivera à le prouver un jour ? » Elle faisait référence à un simple problème que Darmon connaissait bien. Ses propres recherches sur les courbes elliptiques pourraient un jour être impliquées dans une expérience mathématique. Depuis des siècles, des milliers de gens avaient essayé de résoudre le dernier théorème du mathématicien français Pierre de Fermat, qu'il avait griffonné dans la marge d'un livre en 1637, mais personne n'avait réussi.

Un théorème mathématique est une vérité dérivée de principes fondamentaux. Le dernier théorème de Fermat est lié à un résultat classique appelé le théorème de Pythagore, qui dit : dans un triangle rectangle, la somme des carrés des deux côtés courts est égale au carré du long côté. La figure ci-contre démontre cette idée qui a en fait été découverte par les Babyloniens (la civilisation ancienne du pays qui s’appelle aujourd’hui l’Irak) environ 2000 avant J-C. Cette théorie était utilisée pour découvrir la valeur relative des champs d'une ferme, afin de calculer les impôts à payer. Cependant l'origine en est attribuée au célèbre mathématicien Pythagore, qui l'a étudié en détail.

The pythagorean theorem. Click to enlarge.

Le théorème est habituellement exposé de manière algébrique : a2 + b2 = c2, où c représente l’hypoténuse (long côté) et a et b sont les côtés courts du triangle. Beaucoup de nombres satisfont à cette règle, à commencer par 3, 4 et 5 (remplacez le b par 3, le a par 4 et le c par 5; vous obtiendrez 32 = 9, 42 = 16 et 52 = 25, et comme 9 + 16 = 25, tout correspond). D’autres séries de nombres pythagoriciens sont 5, 12 et 13 ou 7, 24 et 25 ; leur nombre est en fait infini. La branche des mathématiques traitant de ce type de problème est appelée "théorie des nombres" et c'est la spécialité d'Henri Darmon.

Fermat se demandait si la règle de Pythagore marcherait pour a3 + b3 = c3 ou a4 + b4 = c4 et il découvrit que ça n’était pas le cas. Mais ensuite il écrivit : « Il n'est pas possible de décomposer un cube en somme de deux cubes, une puissance quatrième en somme de deux puissances quatrièmes et généralement aucune puissance d'exposant supérieur à 2 en deux puissances de même exposant. J'en ai découvert une démonstration merveilleuse. L'étroitesse de la marge ne la contient pas. » Autrement dit, Fermat disait que l'équation an + bn = cn ne marcherait jamais si n était égal à quoi que soit d’autre que 2, et il pouvait le prouver. Durant sa vie, Fermat écrivit de nombreux théorèmes similaires, mais malheureusement il mourut avant de pouvoir prouver celui-ci sur le papier. En juin 1993, 328 ans après sa mort, c’était le seul théorème de Fermat qui n’avait pas encore été démontré, et c’est pourquoi on l’appelle le « dernier théorème de Fermat ». Au cours du temps des sommes d'argent importantes, parfois équivalentes à plus de deux millions de dollars, avaient été offertes comme prix à la personne qui pourrait prouver la validité du dernier théorème de Fermat, et c’est pourquoi quand Henri et Galia parlaient de celui-ci, ils étaient sérieux. La personne qui trouverait la « réponse » deviendrait riche et célèbre, littéralement. La preuve « merveilleuse » de Fermat était probablement très difficile à découvrir car aucune des bonnes vieilles méthodes ne semblait marcher. Darmon savait que la solution impliquait probablement l'utilisation de quelque chose sur lequel il était en train de travailler, les courbes elliptiques, et c'est ce qu'il répondit à Galia : « J’ai l’intuition que cette histoire de Fermat sera bientôt résolu » déclara t-il « Peut-être même dans les dix ans qui viennent. »

En 1955, deux mathématiciens japonais, Yutaka Taniyama et Goro Shimura, prétendirent que les courbes elliptiques étaient liées à un autre type d’objet mathématique appelé formes modulaires, d’une façon profonde et surprenante. Personne n’avait jamais pensé que cette connexion entre les formes modulaires — des fonctions impliquant des nombres imaginaires et résultant en d’incroyables figures symétriques — pourraient avoir quelque chose à voir avec les courbes elliptiques, qui sont des formules standard comme y2 = ax3 + bx2 + cx + d.

Graph of modular form and elliptical curve.

Left: representation of a modular form. Right: representation of an elliptic curve (in blue). Elliptic curves are not ellipses, though they were originally used hundreds of years ago to help calculate the perimeter of an ellipse. The rational points on an elliptic curve (that is, points that are whole numbers, or ratios of whole numbers) have interesting properties. Any two points can be used to find a third. Number theorists love elliptic curves because they answer many questions about equations and their solutions.

Taniyama et Shimura ne purent pas prouver affirmations et les mathématiciens appellent ce genre de théorie une conjecture, jusqu’à ce qu’une preuve soit trouvée. L’intérêt pour la conjecture de Shimura-Taniyama a récemment augmenté, parce qu’au milieu des années 80 deux autres mathématiciens (Frey et Ribet) démontrèrent que si la conjecture était jamais prouvée, elle entraînerait automatiquement une solution au dernier théorème de Fermat. Mais comme le problème semblait si difficile à résoudre, personne ne savait exactement où commencer.

« Tu sais Galia, je ne pense pas que quelqu'un arrivera à comprendre Shimura-Taniyama de mon vivant » dit Henri, tout en garant sa voiture sur la place de parking près de leur appartement de Princeton. Il pensait que la conjecture était beaucoup plus difficile à résoudre que le dernier théorème de Fermat. « Je parie que Fermat sera résolu en premier, » déclara-t’il.

Le matin suivant, un lundi, Darmon était dans son bureau à l'université. Celui-ci occupait une vaste pièce dans une tour, et la fenêtre ouvrait sur la ville rurale de Princeton. Juste au moment où Darmon allait se mettre au travail, Peter Sarnak entra à toutes jambes dans la pièce. Sarnak était un professeur de mathématiques à Princeton, un homme charismatique et sûr de lui. Sarnak s’exclama : « Tu sais que Wiles a trouvé ! Il va démontrer Fermat. »

« Quoi ? » répondit Darmon, interdit. Il connaissait Andrew Wiles, un autre professeur de mathématiques de Princeton et l’un des meilleurs amis de Peter. Wiles était en train d’assister à une conférence de mathématiques à l’Institut Newton à Cambridge, en Angleterre. Darmon était stupéfait. Était-ce possible ? « Comment va t'il faire ? » demanda t’il.

Sarnak répondit : « Il va démontrer Shimura-Taniyama. »

Maintenant, Darmon était complètement dépassé. Non seulement le dernier théorème de Fermat allait être résolu, mais la conjecture de Shimura-Taniyama aussi. « Est-ce que tu as le manuscrit ? » demanda t’il à Sarnak, car il avait vraiment besoin de voir une preuve pour le croire. « Non, j’ai juré de garder le secret. Je ne devrais même pas t'en parler, Henri. » Sarnak avait un charmant accent d’Afrique du Sud quand il parlait, et ajouta : « Andrew va donner trois conférences pour élaborer sa théorie, et il ne montrera pas la preuve de Fermat avant sa dernière conférence mercredi, alors sois gentil n’en parle à personne. Quand tu verras Andrew demandes-lui toi-même une copie. »

La preuve de Wiles s’avéra compter deux cent pages environ et était si compliquée que seuls quelques mathématiciens sur la Terre étaient capables de l’apprécier pleinement. « Au bout du compte, le plus étonnant n’est pas qu’il l’ait démontré » dit Darmon, « mais plutôt comment il l’a démontré. » En faisant se rejoindre deux zones des mathématiques à priori complètement indépendantes l’une de l’autre (les formes modulaires et les courbes elliptiques), Wiles avait réussi quelque chose de bien plus important que de prouver un simple théorème. Il avait réalisé une sorte de grande unification de la pensée mathématique. C’était une victoire symbolique.

« Wiles a changé mon idée du « faisable » et m’a psychologiquement poussé à aller dans des directions où je n’étais pas sûr de trouver une réponse» dit Darmon. De la même façon, Wiles a inspiré des milliers d’autres mathématiciens à découvrir de nombreuses autres relations mathématiques ces dernières années.

Les courbes elliptiques ne sont pas des ellipses, mais elles étaient à l’origine utilisées il y a plusieurs centaines d'années pour aider à calculer le périmètre d’une ellipse. Les points rationnels sur une courbe elliptique (c'est-à-dire, les points qui sont des nombres entiers, ou ratios de nombres entiers) ont des propriétés intéressantes. Deux points (n’importe lesquels) peuvent être utilisés pour trouver un troisième point. Les théoriciens des nombres adorent les courbes elliptiques parce qu’elles permettent de répondre à de nombreuses questions concernant les équations et leurs solutions.

Le jeune scientifique...

Henri Darmon est né à Paris, mais sa famille a déménagé au  Québec au Canada lorsqu'il avait trois ans. Son père travaillait à l’Université de Laval, où il enseignait l’administration commerciale. La famille d'Henri s’est ensuite installée à Montréal (Henri avait alors 11 ans), où son père a commencé à enseigner à l'Université McGill. Henri aimait beaucoup voyager quand il était adolescent, et lorsqu'il était sur la route il aimait travailler sur des problèmes mathématiques difficiles. Il lui arrivait parfois de passer tout un été à réfléchir à un seul problème, tout en voyageant. Il le fait toujours : « Il m’arrive d’avoir de très bonnes idées en voyageant en autobus ou en train. »

L’année de ses 17 ans, Darmon a fait un voyage au Maroc. Il venait de découvrir le calcul, les mathématiques qui permettent de décrire le changement continuel, et cet été il s'était posé un défi personnel: trouver l’anti-dérivée de sinx/x tout en voyageant. Cette association de calcul et de géométrie pouvait paraître simple, mais il passa tout l’été à réfléchir et ne trouva jamais la solution. La raison : il n’y a pas de solution simple.

La science

Henri Darmon est un mathématicien spécialisé dans la théorie des nombres. De nombreux scientifiques estiment que les mathématiques sont la plus pure des sciences et la plupart des mathématiciens sont d’accord pour dire que la théorie des nombres est la forme la plus pure des mathématiques. Contrairement aux autres sciences, il n'est pas nécessaire de faire des expériences en laboratoire ou des observations du monde naturel pour faire des mathématiques. C’est une science qui repose sur sa propre cohérence et sur une logique interne, et pour laquelle on a besoin du seul esprit humain. Comme l’a observé un mathématicien, c’est le seul travail pour lequel il est possible de s’allonger sur un canapé, de fermer les yeux et de se mettre au travail.

Que font les théoriciens des nombres, lorsqu’ils ferment les yeux? Ils imaginent comment les nombres sont liés les uns aux autres, ils voient des modèles, inventent des formules et des équations qui permettent de capturer ces modèles et de les reproduire. Vous êtes-vous déjà posé des questions sur les curieuses propriétés de la table de neuf (9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81)? Remarquez que les chiffres qui composent les nombres s’additionnent toujours entre eux pour former 9 (1 + 8 = 9, 2 + 7 = 9, etcetera). Remarquez la symétrie des séries : après 45, les nombres deviennent des images miroir de ceux qui les précèdent (45/54, 36/63, etc.). C’est un exemple très simple des sujets de réflexion des théoriciens des nombres, mais ces derniers vont en fait beaucoup plus loin que cela. Ils veulent savoir pourquoi la table de neuf se comporte de cette façon (ce qui est lié à la façon dont nous comptons, avec 10 chiffres y compris le zéro.) Ils essayent de deviner ce que signifient ces modèles et ces relations.

Bien qu’ils ne cherchent que rarement des applications pratiques, les théoriciens des nombres ont fournis de nombreux outils utiles aux autres sciences. Par exemple, en sélectionnant un système pour compter qui utilise deux chiffres (0 et 1) au lieu de 10, les mathématiciens ont développé une manière permettant aux machines de faire des mathématiques. Cela s’appelle l'arithmétique binaire, qui est à la base de tous les langages ordinateur. Mais d’habitude, les théoriciens des nombres ne sont pas à la recherche d'utilisations pratiques pour les nombres. Ils sont simplement fascinés par les stupéfiantes relations naturelles qui peuvent être découvertes dans le monde des nombres.

Comme des explorateurs aventureux à la recherche de nouvelles terres, les mathématiciens sont toujours à la recherche de modèles de nombres nouveaux et fascinants. Darmon aime à penser au monde des nombres comme à une sorte de jungle naturelle, comme la toundra arctique ou la forêt Amazonienne. Ces endroits sur la terre voient naître de nombreuses relations entre plantes et animaux, le monde des nombres est plein de connexions, de modèles et de structures et même d'animaux de toutes sortes; la seule différence est qu'on ne l'explore pas dans un bateau ou un avion; ce monde se trouve dans votre esprit.

Dans les années 1960, un couple de mathématiciens anglais appelé B. Birch et H. Swinnerton-Dyer ont formulé une conjecture basée sur de nombreux exercices de comptage compliqués qu’ils avaient faits. Leur conjecture, si elle devait jamais être prouvée, donnerait une méthode mathématique systématique (un algorithme) permettant de calculer les solutions à des équations de courbes elliptiques décrivant des groupes abéliens. En mai 2000, afin de célébrer un siècle de résolution de problèmes mathématiques, l'Institut « Clay Mathematics Institute » à Cambridge dans le Massachusetts a offert un prix d’un million de dollars US pour la solution à chacun de sept grands problèmes, y-compris la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer.

L’Institut Clay faisait écho à un évènement qui s’est déroulé en mai 1900 et où l’un des grands mathématiciens de ce temps, l’allemand David Hilbert, donna une célèbre conférence à Paris où il présenta 23 problèmes très difficiles à résoudre pour les mathématiciens du 20ème siècle. Le 12ème de ces problèmes était une question concernant la génération de groupes abéliens. Plus de 100 ans après, la solution au 12ème problème de Hilbert est toujours inconnue, mais Darmon fait des progrès dans sa recherche d’une solution.

En simplifiant, Hilbert demanda : « Comment avoir une méthode correcte et efficace, permettant de construire toutes les extensions abéliennes contenant un corps donné?” Des années plus tard, en commentant ce problème, Hilbert déclara « La théorie de la multiplication complexe (de fonctions elliptiques modulaires) qui forment un lien puissant entre la théorie des nombres et l'analyse, n'est pas seulement la plus belle partie de toutes les mathématiques mais de toute la science."

C’est pourquoi la quête d’Henri Darmon est en effet noble; s'il peut trouver ce qu'il cherche dans la jungle mathématique, sa découverte affectera, d'après Hilbert, l’ensemble de la science. Il pourrait aussi devenir millionnaire. Il y a quelques années, Darmon a prouvé la connexion entre le 12ème problème de Hilbert et la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer. Et tout dépend de la manipulation habile des courbes elliptiques.

D’une manière pratique, les modèles générés par les courbes elliptiques permettent d'encoder et de décoder des informations de manière très efficace. Ces encryptions sont petites et faciles à calculer, et c’est pourquoi elles sont idéales pour des transactions rapides avec des cartes de crédit, atms et les achats en ligne sur Internet.

The number system. Click to enlarge.

Le système de nombres commence avec les nombres naturels : 1, 2, 3, 4 etc. Ensuite, ajoutez le zéro et les nombres négatifs pour obtenir les nombres entiers. Entre chaque nombre entier se trouvent les fractions. Les mathématiciens appellent ces nombres les nombres rationnels. Chaque groupe plus grand inclus les plus petits. Après les fractions viennent les nombres qui ne peuvent pas être simplement exprimé par un nombre divisé par un autre, comme la racine carrée de 2. Ceci inclus les nombres imaginaires, qui sont nécessaires pour expliquer les nombres dont les racines sont négatives. On les appelle collectivement nombres irrationnels ou nombres algébriques. Au-delà se trouvent des nombres plus exotiques comme pi (3.14159 …) ou e (2.17828 …), des nombres avec des relations logiques simples — par exemple pi est le rapport du rayon d’un cercle avec sa circonférence — mais qui ne peuvent pas être exprimés comme le rapport de nombres entiers. Ils vont plus loin que le calcul ordinaire, c’est pourquoi les mathématiciens les appellent nombres transcendants.

Symmetries.

Symétrie : tout comme les biologistes cataloguent les plantes, un mathématicien catégorise les nombres. Un exemple très simple serait formé par tous les nombres pairs, mais un meilleur outil est le corps de nombre, un groupe de nombres qui est préservé sous l'addition, la soustraction, la multiplication et la division, et obéit aux règles impliquant la symétrie comme l’inversion de la multiplication (a x b est la même chose que b x a).

Les théoriciens des nombres mesurent la complexité d’un corps de nombre par la quantité de symétrie qu’il possède. Si vous considérez un carré et un rectangle : vous pouvez tourner un carré par n'importe quel multiple de 90 degrés et le pivoter sur n'importe lequel de ses quatre axes de symétrie, pour un total de huit transformations possibles. Mais un rectangle, en raison de ses côtés inégaux, ne possède que quatre façons différentes d’être tourné ou pivoté. La figure illustre le nombre de symétries sous chaque forme. Darmon travaille avec un type de corps de nombre qui obéit à un type de symétrie spécifique. Quand deux symétries sont appliquées à un groupe abélien, elles peuvent être appliquées dans n’importe quel ordre et le résultat sera le même : comme de pivoter, puis de tourner, le carré ci-dessus. Dans un sens, les groupes abéliens sont la classe la plus simple de systèmes de nombres car ils possèdent cette « symétrie des symétries » Les mathématiciens voudraient trouver des équations qui décriraient tous les groupes abéliens possibles et il s’avère que les courbes elliptiques peuvent les aider.

Mystère

Les solutions à de nombreux problèmes mathématiques attendent d’être découvertes. Le 12ème problème de Hilbert, la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer et d’autres problèmes du millénaire du Clay Institute restent des énigmes.

Pour continuer l’exploration

Amir Aczel, Fermat’s Last Theorem, Delta, 1997.

Albert Beiler, Recreations in the Theory of Numbers, Dover, 1964.

Pour en apprendre plus au sujet des courbes elliptiques, essayez le site Internet d'Ed Eikenberg à l’université du Maryland.

Afin de découvrir comment gagner un million de dollars en faisant des mathématiques, visitez le site Internet du Clay Institute.

Carrière

Alors comme ça, vous voulez devenir un théoricien des nombres

Le monde dans lequel nous vivons est de plus en plus influencé par les mathématiques : elles sont à la base de tous les systèmes de sécurité modernes, du séquençage génétique, des téléphones portables, et autres systèmes de traitement de signaux radio, des machines et autos contrôlées par ordinateur, des statistiques de marketing et des enquêtes d'opinions politiques, pour ne citer que quelques exemples. Une bonne connaissance des mathématiques peut donc vous mener à une carrière dans de nombreuses directions.

Les mathématiques peuvent former une superbe base pour toute carrière où la programmation sur ordinateur est nécessaire. Henri Darmon dit : « Quand des étudiants en mathématiques qui n’ont aucune connaissance de la programmation commencent à programmer, je trouve que leur code est meilleur que celui écrit par des étudiants qui ne possèdent pas cette discipline mathématique. »

En ce qui concerne la recherche mathématique pure, Darmon indique les nombreux problèmes non résolus en mathématique, dont les moindres ne sont pas les sept problèmes du Clay Institute. D’après lui, l’inspiration à la base des maths et de la science est de découvrir quelque chose de nouveau. « Il y a un mystère, un problème ou cette structure particulière, qui est là. Quand on le sonde, il semble révéler toutes sortes de modèles fascinants qui sont eux aussi très mystérieux. Nous souhaitons comprendre ces modèles juste pour la beauté du geste. C’est la motivation première de toute recherche scientifique, y compris les mathématiques. »

Idées de carrière:

  • Mathématiciens
  • Statisticiens
  • Analystes fonctionnels
  • Informaticiens
  • Comptables
  • Actuarians
  • Auditeurs financiers
  • Analystes d'assurance
  • Professeurs
  • Analystes d'investissement
  • Planificateurs financier

La personne

Date de naissance
22 octobre 1965
Lieu de naissance
Paris, France
Résidence
Montréal, Québec
Membres de famille
  • Épouse : Galia Dafni, mathématicienne à l’Université de Concordia, Montréal
  • Fille : Maia
Personnalité
Persévérant, obsessionnel, modeste
Musique préférée
Jazz, chanteurs francophones comme Brassens et Vigneault
D'autres intérêts
Lire des romans (particulièrement la science-fiction), ski, natation
Titre
Professeur
Bureau
Département des mathématiques, McGill
Situation
Working
diplomes
  • B.Sc. (mathématiques et informatique), Université McGill, 1987
  • Ph.D. (mathématiques), Université de Harvard, 1991
Recompenses
  • Prix de recherche Alfred P. Sloan, 1996
  • Prix de mathématiques André-Aisenstadt, 1997
  • Prix Coxeter-James (La Société mathématique du Canada), 1998
  • Prix Steacie (Le conseil de recherches en sciences naturelles et en génie du Canada, Ottawa), 2002
  • Membre, Société Royale du Canada, 2003
Mentor
Jim Lambek, qui lui a enseigné que les mathématiques sont une science vivante et riche en événements, où il reste beaucoup à découvrir. John McKay, qui lui a appris l'attraction exercée par les choses encore incomprises ainsi que l’utilisation des mathématiques expérimentales et la théorie de Galois. Jean Pierre Serre, pour son goût de l'élégance en mathématiques et dans l’expression, et pour ses explications parfaitement claires. Andrew Wiles, pour son style, son obsessionnalité et ses méthodes créatives, ainsi que pour son jugement quant au choix de projets réalisables et sa bonne intuition mathématique.
Dernier mis à jour
8 avril 2015
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activité

Utiliser un ordinateur pour étudier les mystères du monde des mathématiques.

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