Donald (H. S. M.) Coxeter

Mathématiques pures et appliquées

Le plus grand géomètre classique du 20ème siècle

"Je suis un platonicien — un disciple de Platon — qui croit qu'on n'invente pas ce genre de choses, mais qu'on les découvre. D’une certaine façon, tous ces faits mathématiques existent déjà, et attendent d'être découverts."

La géométrie est une branche des mathématiques qui traite des points, des lignes, des angles, des surfaces et des solides. Une des contributions majeures de Coxeter à la géométrie fut dans le domaine de l’analogie dimensionnelle, un procédé qui constitue à étirer des formes géométriques dans des dimensions plus élevées ; il est aussi célèbre pour les « Groupes de Coxeter », la distance inversive entre deux cercles (ou sphères) disjoints.

Dimensional analogy. Click to Enlarge.

1. Ligne : Une ligne est une forme unidimensionnelle. Il est possible de se déplacer le long d’une ligne dans une seule direction uniquement – en avançant ou en reculant. Si vous étirez une ligne transversalement dans la deuxième dimension, vous créez un carré.

2. Carré : Quatre lignes à angle droit font un carré. Un carré est une surface à deux dimensions et vous pouvez le déplacer dans deux directions — vers l’avant ou l’arrière ou vers la droite ou la gauche.

3. Cube: Si vous étirez un carré vers le haut, vous l’étirez vers la troisième dimension, et le résultat est un cube. Il faut six carrés pour faire un cube. À l’intérieur d’un cube il est possible de se déplacer vers l'avant et vers l'arrière, à droite ou à gauche, ou vers le haut ou vers le bas - trois directions, ou encore trois dimensions.

4. Hypercube : Si vous étirez un cube vers la quatrième dimension, vous obtenez un hypercube. Huit cubes forment un hypercube. La figure que vous voyez ici ne peut pas exister dans le monde réel, qui ne possède que trois dimensions. C’est une projection d’un objet quadridimensionnel en deux dimensions tout comme le cube précédent, qui est une projection d'un objet tridimensionnel sur la surface plane en deux dimensions de la feuille de papier.

5. Polytope régulier : Si vous continuez à tirer l’hypercube vers des dimensions supérieures, vous obtiendrez un polytope. Coxeter est célèbre pour ses travaux concernant les polytopes réguliers. Quand ils ont des coordonnés formés de nombres complexes, on les appelle polytopes complexes.


ACTIVITé

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MYSTèRE

Coxeter avait toujours espéré qu’une personne se montrerait capable de résoudre le théorème de la carte à quatre couleurs. Ce problème dit simplement que n’importe quelle carte de géographie en deux dimensions, dont les pays représentés sont de n’importe quelle forme, il ne vous faudra que 4 couleurs pour colorier tous les pays, et qu’aucun pays se touchant n’aura jamais la même couleur. Il est facile de démontrer ce fait avec une feuille de papier et quatre crayons, mais personne n’a jamais été capable de prouver (ou d’infirmer) cette idée avec de la géométrie pure et des mathématiques. Un essai controversé par ordinateur réalisé dans les années 1970, prétend prouver le théorème de la carte à quatre couleurs ; l’ordinateur a testé des millions de cartes, mais Coxeter estimait que cette preuve n'était pas satisfaisante, car le théorème était trop étendu et compliqué pour être vérifié par un être humain. Durant ces dernières années, les mathématiciens ont réduit le nombre de cartes générées par ordinateur, mais cette nouvelle expérience requiert toujours l’aide d’un ordinateur, et est peu pratique car un humain seul ne peut pas vérifier cette expérience.

Coxeter n’a jamais trouvé que l’expérience réalisée par l’ordinateur représente une solution satisfaisante pour le théorème de la carte en quatre couleurs. Une telle expérience devrait pouvoir être comprise facilement par tout un chacun et ne devrait utiliser que des idées mathématiques ou géométriques présentées de façon logique à l’aide d’un papier et un crayon. Donc, pour Coxeter et pour d’autres mathématiciens, le théorème de la carte à quatre couleurs reste une question sans réponse.

Pour continuer l’exploration

Martin Aigner and Gunter M. Ziegler, Proofs from The Book, Springer-Verlag Telos, 2000.

W. W. R. Ball and H. S. M. Coxeter, Mathematical Recreations and Essays, 13th edition, Dover, 1987.

H. S. M. Coxeter, The Beauty of Geometry: Twelve Essays, Dover, 1999.

H. S. M. Coxeter, Introduction to Geometry, second edition, Wiley, 1989.

H. S. M. Coxeter, Non-Euclidean Geometry, sixth edition, Math. Assoc. Amer., 1998.

Siobhan Roberts, King of Infinite Space: The Story of Donald Coxeter, the Man Who Saved Geometry, House of Anansi/Groundwood Books, 2006.

Robin Wilson, Four Colors Suffice: How the Map Problem Was Solved, Princeton University Press, 2003.

Biographie sur le site Internet de Wolfram Research.

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