Donald (H. S. M.) Coxeter Mathématiques pures et appliquées

Le plus grand géomètre classique du 20ème siècle

"Je suis un platonicien — un disciple de Platon — qui croit qu'on n'invente pas ce genre de choses, mais qu'on les découvre. D’une certaine façon, tous ces faits mathématiques existent déjà, et attendent d'être découverts."

L'histoire

L’odeur des produits antiseptiques et des draps bien repassés se mélange avec celle provenant d’une petite cheminée marchant au charbon, située au fond de l'infirmerie. Deux garçons de treize ans sont allongés dans des lits placés côte à côte, convalescents de la grippe qui les a confiné dans cette chambre de malade.

“Coxeter, comment penses-tu que le voyage dans le temps deviendra possible ?” demande John Petrie, l’un des deux garçons.

“Tu veux dire comme dans H. G. Wells?” répond Donald Coxeter, l’autre garçon. L’œuvre classique de science-fiction écrite par H. G. Wells, « La Machine à explorer le temps », est un sujet de conversation populaire. Les deux garçons croient que le voyage à travers le temps finira par devenir possible. Après quelques instants Coxeter répond : « Je pense qu’il sera nécessaire de passer dans la quatrième dimension. » C'est à cette époque que Coxeter commence à former les idées concernant les géométries des dimensions supérieures qu’il développera plus tard.

Les deux garçons sont doués, et ils comment à utiliser les livres et les jeux qui se trouvent près de leurs lits pour expérimenter avec les idées d'espace de dimensions supérieures -- les espaces et les dimensions qui se trouvent au-delà des trois dimensions ordinaires de l'espace naturel tel que nous le voyons. Ces jeux primitifs entraîneront la découverte ultérieure par Coxeter des polytopes réguliers, des formes géométriques qui s’étendent dans la quatrième dimension et bien au-delà.

Le jeune scientifique...

Peu de temps après sa convalescence de cette fameuse grippe, Coxeter écrivit une dissertation dont le sujet était la projection de formes géométriques dans des dimensions supérieures. Impressionné par les talents en géométrie de son fils et souhaitant aider l’esprit du garçon à se développer, son père l’emmena voir Bertrand Russell, le brillant philosophe, éducateur et militant pour la paix anglais. Russell aida la famille Coxeter à trouver un bon professeur de mathématiques qui travailla avec Coxeter, lui permettant d’entrer à l’université de Cambridge.

Coxeter était connu sous le nom de H. S. M. Coxeter, bien que ses amis et les membres de sa famille l’appelassent Donald. En voici la raison : à la naissance, il reçut les prénoms de MacDonald Scott Coxeter, ce qui entraîna à utiliser le surnom de Donald, pour raccourcir. Mais un parrain suggéra d’ajouter le prénom de son père et c’est pourquoi  Harold fut ajouté au devant des autres prénoms. Quelqu’un remarqua que H. M. S. Coxeter ressemblait à un nom de bateau, et finalement l'ordre des prénoms fut changé : Harold Scott MacDonald Coxeter.

À l’âge de 19 ans, en 1926, et avant d’avoir obtenu un diplôme universitaire, Coxeter découvrit un nouveau polyèdre régulier, une forme portant six formes hexagonales sur chaque sommet. Il continua ses études des mathématiques des kaléidoscopes, qui sont des instruments utilisant des miroirs et des morceaux de verre pour créer des dessins grâce au principe de réflexion ; ces dessins changent sans cesse. En 1933 il avait dénombré et spécifié les kaléidoscopes n-dimensionnel  (“n-dimensions” signifiant unidimensionnel, à deux, trois dimensions etc.. jusqu'à un nombre [n] de  dimensions). Cette branche des mathématiques détermine comment les formes vont se comporter et combien de symétries elles génèrent  quand elles sont réfléchies de façon répétée dans un kaléidoscope.

En 1936, Coxeter reçut une invitation complètement inattendue de la part de Sam Beatty de l’Université de Toronto, qui lui offrait là-bas un poste d'assistant professeur. Le père de Coxeter, qui prévoyait déjà l'éclatement de la Deuxième Guerre Mondiale, conseilla à son fils d’accepter la proposition. Comme le raconte Coxeter “Ma femme Rien et moi nous nous sommes mariés et nous avons pris le bateau pour commencer notre vie ensemble, dans ce pays plus sûr qu'était le Canada.”

Coxeter a vécu jusqu’à l’âge de 96, travaillant et donnant des cours jusqu'à sa mort. Il attribuait sa longévité à son régime végétarien strict et il faisait tous les jours 50 pompes. Il déclarait: "Je ne m'ennuie jamais".

La science

La géométrie est une branche des mathématiques qui traite des points, des lignes, des angles, des surfaces et des solides. Une des contributions majeures de Coxeter à la géométrie fut dans le domaine de l’analogie dimensionnelle, un procédé qui constitue à étirer des formes géométriques dans des dimensions plus élevées ; il est aussi célèbre pour les « Groupes de Coxeter », la distance inversive entre deux cercles (ou sphères) disjoints.

Dimensional analogy. Click to Enlarge.

1. Ligne : Une ligne est une forme unidimensionnelle. Il est possible de se déplacer le long d’une ligne dans une seule direction uniquement – en avançant ou en reculant. Si vous étirez une ligne transversalement dans la deuxième dimension, vous créez un carré.

2. Carré : Quatre lignes à angle droit font un carré. Un carré est une surface à deux dimensions et vous pouvez le déplacer dans deux directions — vers l’avant ou l’arrière ou vers la droite ou la gauche.

3. Cube: Si vous étirez un carré vers le haut, vous l’étirez vers la troisième dimension, et le résultat est un cube. Il faut six carrés pour faire un cube. À l’intérieur d’un cube il est possible de se déplacer vers l'avant et vers l'arrière, à droite ou à gauche, ou vers le haut ou vers le bas - trois directions, ou encore trois dimensions.

4. Hypercube : Si vous étirez un cube vers la quatrième dimension, vous obtenez un hypercube. Huit cubes forment un hypercube. La figure que vous voyez ici ne peut pas exister dans le monde réel, qui ne possède que trois dimensions. C’est une projection d’un objet quadridimensionnel en deux dimensions tout comme le cube précédent, qui est une projection d'un objet tridimensionnel sur la surface plane en deux dimensions de la feuille de papier.

5. Polytope régulier : Si vous continuez à tirer l’hypercube vers des dimensions supérieures, vous obtiendrez un polytope. Coxeter est célèbre pour ses travaux concernant les polytopes réguliers. Quand ils ont des coordonnés formés de nombres complexes, on les appelle polytopes complexes.

Mystère

Coxeter avait toujours espéré qu’une personne se montrerait capable de résoudre le théorème de la carte à quatre couleurs. Ce problème dit simplement que n’importe quelle carte de géographie en deux dimensions, dont les pays représentés sont de n’importe quelle forme, il ne vous faudra que 4 couleurs pour colorier tous les pays, et qu’aucun pays se touchant n’aura jamais la même couleur. Il est facile de démontrer ce fait avec une feuille de papier et quatre crayons, mais personne n’a jamais été capable de prouver (ou d’infirmer) cette idée avec de la géométrie pure et des mathématiques. Un essai controversé par ordinateur réalisé dans les années 1970, prétend prouver le théorème de la carte à quatre couleurs ; l’ordinateur a testé des millions de cartes, mais Coxeter estimait que cette preuve n'était pas satisfaisante, car le théorème était trop étendu et compliqué pour être vérifié par un être humain. Durant ces dernières années, les mathématiciens ont réduit le nombre de cartes générées par ordinateur, mais cette nouvelle expérience requiert toujours l’aide d’un ordinateur, et est peu pratique car un humain seul ne peut pas vérifier cette expérience.

Coxeter n’a jamais trouvé que l’expérience réalisée par l’ordinateur représente une solution satisfaisante pour le théorème de la carte en quatre couleurs. Une telle expérience devrait pouvoir être comprise facilement par tout un chacun et ne devrait utiliser que des idées mathématiques ou géométriques présentées de façon logique à l’aide d’un papier et un crayon. Donc, pour Coxeter et pour d’autres mathématiciens, le théorème de la carte à quatre couleurs reste une question sans réponse.

Pour continuer l’exploration

Martin Aigner and Gunter M. Ziegler, Proofs from The Book, Springer-Verlag Telos, 2000.

W. W. R. Ball and H. S. M. Coxeter, Mathematical Recreations and Essays, 13th edition, Dover, 1987.

H. S. M. Coxeter, The Beauty of Geometry: Twelve Essays, Dover, 1999.

H. S. M. Coxeter, Introduction to Geometry, second edition, Wiley, 1989.

H. S. M. Coxeter, Non-Euclidean Geometry, sixth edition, Math. Assoc. Amer., 1998.

Siobhan Roberts, King of Infinite Space: The Story of Donald Coxeter, the Man Who Saved Geometry, House of Anansi/Groundwood Books, 2006.

Robin Wilson, Four Colors Suffice: How the Map Problem Was Solved, Princeton University Press, 2003.

Biographie sur le site Internet de Wolfram Research.

Carrière

Alors comme ça, vous voulez devenir mathématicien et géomètre

Coxeter adorait son travail et il a dit une fois, à propos de sa carrière : « J’ai vraiment beaucoup de chance d’être payé pour faire ce que j’aurais fait de toute façon ! » Son conseil pour les jeunes qui pensent à faire carrière dans les mathématiques: « Il ne suffit pas d’aimer les maths, il faut que vous les adoriez, que vous en rêviez en permanence. »

Les carrières nécessitant les mathématiques avec une spécialité en géométrie sont l’architecture, la cryptographie (les codes secrets), la cristallographie, les réseaux ordinateurs, la cartographie, la balistique, l’astronomie, les métiers d’ingénieurs, la physique, la visualisation par ordinateur et les jeux ordinateurs — tous les métiers où il est nécessaire de visualiser ou de manipuler choses ou idées dans plusieurs dimensions.

Idées de carrière:

  • Mathématiciens
  • Statisticiens
  • Analystes fonctionnels
  • Informaticiens
  • Comptables
  • Actuarians
  • Auditeurs financiers
  • Analystes d'assurance
  • Professeurs
  • Analystes d'investissement
  • Planificateurs financier

La personne

Date de naissance
2 février 1907
Lieu de naissance
Londres, Angleterre
Date de la mort
31 mars 2003
Endroit de la mort
Toronto, Ontario
Résidence
Toronto, Ontario
Membres de famille
  • Père : Harold S. Coxeter
  • Mère : Lucy Gee
  • Épouse : Hendrina Johanna “Rien” Brouwer
  • Enfants : Edgar, Susan
  • Petits-enfants : Six
  • Arrières petits-enfants : Six
Personnalité
obstiné, optimiste

Musique préférée
La neuvième symphonie de Bruckner (Troisième mouvement), Te Deum
D'autres intérêts
L’art d’Escher, les romans d’Ethel Voynich, les pièces de théâtre de George Bernard Shaw
Titre
Professeur Emeritus
Bureau
Département de mathématiques, université de Toronto, Toronto, Ontario
Situation
Deceased
diplomes
  • BA Université de Cambridge, 1929
  • PhD Cambridge, 1931
Recompenses
  • Médaille H. M. Tory (Société Royale du Canada), 1950
  • Membre, Société Royale du Canada
  • Membre, Société Royale de Londres
  • Prix CRM, Fields Institute, 1995
  • Compagnon, Ordre du Canada, 1997
  • Médaille Sylvester (Société Royale de Londres)
Mentor
Professeur H. F. Baker de l’université de Cambridge, Angleterre
Dernier mis à jour
20 décembre 2008
Popularité
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