objectif

« Jouer » avec le logiciel symbolique de maths.

On a besoin de...
  • A computer
  • A copy of the free Pari symbolic math program from http://pari.math.u-bordeaux.fr/ or Mathematica (Free trial available at mathematica.com or Maple
  • Lisez-en plus au sujet de cette activité au biograph de Henri Darmon...

    ce qui à faire

    Cliquer sur le lien de téléchargement au site Web de Pari (http://pari.math.u-bordeaux.fr/) au département de maths de l'université du Bordeaux en France, pour Pari, d'une calculatrice symbolique libre semblable à ceux employée par des scientifiques de théorie de nombre comme Henri Darmon. Le téléchargement de Pari inclut un excellent manuel d'utilisateur et un cours d'instruction de 46 pages pour vous obtenir a commencé à expérimenter avec des nombres. Être sûr de regarder le cours d'instruction tout de suite. Il donne des exemples des choses au type dans Pari pour découvrir immédiatement ce qu'il peut faire. Les fonctions existent pour des champs de nombre et des courbes elliptiques parmi beaucoup d'autres outils de théorie de nombre.

    Voici quelques calculs d'amusement que vous pouvez faire avec Pari qui illustrent la puissance et le mystère des courbes elliptiques. Sans expliquer réellement ce qui continue, les espoirs de Darmon ces exemples exciteront quelques lecteurs pour apprendre plus.

    Exercice 1

    Calculer sur Pari que l'exponentiel de pi chronomètre la racine carrée de 163 en dactylographiant la commande :

    exp (Pi*sqrt (163))

    du message de sollicitation de commande de Pari. Qu'observez-vous ?

    Augmenter l'exactitude à 50 chiffres par défaut de dactylographie (realprecision, 50) et répéter le calcul. L'explication pourquoi ce nombre, alors que pas un nombre entier, est extrêmement de près d'un, se situe dans la théorie de multiplication complexe…

    Exercice 2

    a) Considérer la courbe elliptique y2 = x3 - x, et donné un nombre principal p, laisser N (p) soit le nombre de paires de nombres entiers (x, y) avec x et y entre 0 et p-1, tel que p divise y2 - (x3-x). Calculer les valeurs premières de N (p), pour p =3,5,7,11, 13.17.19, 23, 29. Qu'a-t-vous modelé, le cas échéant, observez-vous ?

    b) Un théorème classique de gauss affirme qu'une perfection impaire p peut être écrite comme somme de deux places avec précision quand 4 divise p-1. Vérifier ceci sur les valeurs premières de p (=5, 13, 17, 29) en écrivant p comme a2+b2 dans chaque cas, avec un impair et un b même.

    c) Quel rapport observez-vous entre a et N (p) ?

    Cet exercice donnera au lecteur un sentiment pour un des aspects de la modularité, qui affirme que le N (p) peut être décrit en termes d'intéresser des données arithmétiques.



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